Войти Регистрация Спроси ai-bota

Необходимо вычислить длину дуги и объем тела, полученного вращение вокруг оси Оx

Необходимо вычислить длину дуги и объем тела, полученного вращение вокруг оси Оx

Ответ:

yulyamazelyuk

05.05.2021 23:04

${}\ \ y=x^2-1\ \ ,\ \ OX:y=0\ \ ,\\\\x^2-1=0\ \ ,\ \ x^2=1\ \ ,\ \ x=\pm 1\\\\l=\int\limits^1_{-1} \, \sqrt{1+(y')^2}\, dx=\int\limits^1_{-1} \, \sqrt{1+(2x)^2}\, dx=\int\limits^1_{-1} \, \sqrt{1+4x^2}\, dx=(\star )\\\\\\Q=\int \sqrt{1+4x^2}\, dx=\Big[\ u=\sqrt{1+4x^2}\ ,\ du=\dfrac{8x\, dx}{2\sqrt{1+4x^2}}=\dfrac{4x\, dx}{\sqrt{1+4x^2}}\ ,\\\\\\dv=dx\ \ ,\ \ v=x\ \Big]=uv-\int v\, du=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \dfrac{4x^2\, dx}{\sqrt{1+4x^2}}=$

$=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \dfrac{(1+4x^2)-1}{\sqrt{1+4x^2}}\, dx=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \Big(\dfrac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{1+4x^2}}\Big)\, dx=\\\\\\=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \sqrt{1+4x^2}\, dx+\int \dfrac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}=\\\\\\=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \sqrt{1+4x^2}\, dx+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(2x)}{\sqrt{1+(2x)^2}}=\\\\\\=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-Q+\dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|+C\ \ \ \Rightarrow$

$2Q=x\cdot \sqrt{1+4x^2}+\dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|+C\\\\\\Q=\dfrac{1}{2}\, x\cdot \sqrt{1+4x^2}+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|+\dfrac{C}{2}$

$(\star )=\int\limits^1_{-1}\, \sqrt{1+4x^2}\, dx=\Big(\dfrac{1}{2}\, x\cdot \sqrt{1+4x^2}+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|\Big)\Big|_{-1}^1=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt5+\dfrac{1}{4}\cdot ln\, \Big|\, 2+\sqrt5\, \Big|+\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt5-\dfrac{1}{4}\cdot ln\, \Big|\, -2+\sqrt5\, \Big|=\\\\\\=\sqrt5+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big(\dfrac{2+\sqrt5}{\sqrt5-2}\Big)\ ;$

$l=\sqrt5+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big(\dfrac{2+\sqrt5}{\sqrt5-2}\Big)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

tasyasoloveva24

28.09.2020 08:07

График функций у =3х-9 пересекает ось Оу в точке с координатами...

Bigrash

11.08.2020 05:29

с решением сразу ответ не надо...

JanaKay

13.04.2023 21:59

, если можно то эти задания. Единственное, что я не совсем понял как делать Тема: вычитание и прибавление многочленов, умножение и деление многочленов...

mmmkkk3

05.05.2023 23:08

Вподарочной коробке лежало 20 шоколадных конфет, 5 из которых были с кофейной начинкой. оля взяла наугад одну конфету. какая вероятность того, что начинка конфеты не кофейная?...

socnyjarbuz

05.05.2023 23:08

Детская площадка имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 84м2. одна его сторона на 8 метров(-а) больше, чем другая. детской площадке необходимо построить бордюр. в магазине...

loric225p0cgrp

15.01.2020 09:53

Зная длинну шага, легко вычеслить приблежённо пройденное расстояние s по формуле s=nl, где n- число шагов, l-длинна шага. по этой же формуле, зная количество сделанных шагов и пройденное...

laskia

06.04.2023 23:56

Сграфика функции y=x^=2x=3 найти значения x,при которых значение функции равно 3...

andreikoval07

06.04.2023 23:56

Число 4 є коренем рівняння х квадрат -рх + 12=0. знайти число р і другий корінь рівняння...

твайнзайа

06.04.2023 23:56

Выполнила действия: а)c/6b • 3ab/c, б)3/5х•10х, в)ху/3: (9у²), г)5m²/n : m/n³. заранее вам ! /-это дробная черта : )...

Dyrochka22

26.03.2020 22:24

г, д, енужно внести множитель под корень...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку