Если многочлен P(x) разделить на двучлен x - a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = P(a).
Рассмотрим первый многочлен
x³+4x²-9x-36
Если остаток нулевой, то x=a будет корнем
Для поиска корней, воспользуемся следствием из этой теоремы, то что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. (±1, ±2, ±3, ±4, ±6 и т.д.)
Составим схему
Вкратце об этой схеме: в верхней строке выписывваете коэффициенты, начиная со старшей степени x, в левой колонке вписываете предполагаемый корень. Первые два корня опущу (они не подходят, можете проверить на этой схеме). Далее первый коэффициент просто переписываете, следующий коэфф-т получается умножением корня на предыдущий коэфф-т(в той же строчке, что и сам корень) и сложением с коэфф-том в верхней строчки, т.е.
3*1+4 = 7
3*7+(-9) = 12
3*12-36 = 0, т.е. 3 - это корень.
____|_1__|__4__|__-9__|__-36__|
3 | 1 | 7 | 12 | 0 |
Получили x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x²+7x+12)
корни квадратного трехчлена, можно найти также по схеме или же продолжить искать корни в той же схеме
Вспомним саму теорему:
Если многочлен P(x) разделить на двучлен x - a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = P(a).
Рассмотрим первый многочлен
x³+4x²-9x-36
Если остаток нулевой, то x=a будет корнем
Для поиска корней, воспользуемся следствием из этой теоремы, то что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. (±1, ±2, ±3, ±4, ±6 и т.д.)
Составим схему
Вкратце об этой схеме: в верхней строке выписывваете коэффициенты, начиная со старшей степени x, в левой колонке вписываете предполагаемый корень. Первые два корня опущу (они не подходят, можете проверить на этой схеме). Далее первый коэффициент просто переписываете, следующий коэфф-т получается умножением корня на предыдущий коэфф-т(в той же строчке, что и сам корень) и сложением с коэфф-том в верхней строчки, т.е.
3*1+4 = 7
3*7+(-9) = 12
3*12-36 = 0, т.е. 3 - это корень.
____|_1__|__4__|__-9__|__-36__|
3 | 1 | 7 | 12 | 0 |
Получили x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x²+7x+12)
корни квадратного трехчлена, можно найти также по схеме или же продолжить искать корни в той же схеме
___|_1_|_7_|_12_|
-3 | 1 | 4 | 0
(x²+7x+12) = (x-3)(x-4)
x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x+3)(x-4)
Второй многочлен
x³+2x²-11x-12 (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12)
Если дробь сокращается, то корни должны совпадать
____|_1_|_2_|_-11_|_-12_|
3 | 1 | 5 | 4 | 0 |
x³+2x²-11x-12 = (x-3)(x²+5x+4)
____|_1_|_5_|_4_|
-1 | 1 | 4 | 0 |
x³+2x²-11x-12 = (x-3)(x-1)(x-4)