Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти бесконечно убывающую прогрессию, сумма которой равна 8/3, а сумма прогрессии, составленной из квадратов ее членов, в 8 раз больше.

Ответ:

StarBoy12ewq

01.10.2020 08:34

Пусть $b_{1}; b_{2}=b_{1}q; b_{3}=b_{1}q^{2}; b_{4}=b_{1}q^{3}, ...$ - исходная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна
$S= \frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}$

Рассмотрим прогрессию, составленную из квадратов ее членов:
$b_{1}^{2}; b_{2}^{2}=(b_{1}q)^{2}=b_{1}^{2}q^{2}; b_{3}^{2}=(b_{1}q^{2})^{2}=b_{1}^{2}q^{4}; ...$
Она тоже является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_{1}^{2}$ и знаменателем $q^{2}$
Значит, ее сумма вычисляется по формуле:
$S_{1}=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}$

Получаем систему уравнений
$\left \{ {{\frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}} \atop {\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}}} \right.$
$\left \{ {{b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)} \atop {3b_{1}^{2}=64(1-q^{2})}} \right.$

Подставим 1-е во 2-е
$3* \frac{64}{9}*(1-q)^{2}=64(1-q^{2})$
$\frac{1}{3}*(1-q)^{2}=(1-q)(1+q)$
$\frac{1}{3}- \frac{1}{3}q=1+q$
$\frac{4}{3}q=- \frac{2}{3}$
$q=- \frac{1}{2}$

Значит, $b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)=\frac{8}{3}(1+\frac{1}{2})=\frac{8}{3}* \frac{3}{2}=4$

$b_{1}=4; b_{2}=4*(-\frac{1}{2})=-2; b_{3}=4*(-\frac{1}{2})^{2}=1; ...$ - искомая прогрессия

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Elizaveta30122005

10.12.2020 17:09

Решите уравнение { x+x+20+x=20; 3x+5=29...

Monika950

10.12.2020 17:09

Моторная лодка по течению реки 8 км, а против течения - 3 км, затратив на весь путь 45 мин. найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2...

kirill67r

24.08.2021 08:46

Координаты вершины параболы, заданной уравнением у = - х(2) - 4х +1, равны: 1) (-2; 5) 2) (2; -3) 3) (4; 1) 4) (0; 1...

alyonabursina

24.08.2021 08:46

Разложите многочлен на множители, с фсу: 1.(x^2+1)^2-4x^2 2.(y^2+2y)^2-1 3.81-(c^2+6c)^2 4.16m^2-(m-n)^2...

Пеперони228

24.08.2021 08:46

Уравнение (8 класс) (х2+2х)2+13(х2+2х)+12+0...

даша3464

23.05.2020 20:20

Даны векторы а {8; -2} и в {7; -4} найдите координаты вектора 1/2а-2в...

giyosjjj

04.01.2021 07:16

Вкакой четверти координатной плоскости расположена точка а (-8 ; -3а + b) при а 0, b 0 ? постройте прямые, проходящие через точку параллельно осям ох и оу при а= -1,...

Katyaguccigang

10.12.2021 09:20

На рисунке изображён график функции y=kx. По данному графику определи значение k....

Aigul1265

14.07.2021 23:20

Основания трапеции равны 5 м и 12 м, а высота равна 8м, вычисли площадь трапеции ...

NikaAs1

27.04.2022 22:28

Ребят, как это доказать? Распишите подробно....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку