Для начала, давайте вспомним, что такое контангенс и синус. Контангенс (ctg) угла B выражается как отношение катета прилегающего к углу B к катету противолежащему углу B в прямоугольном треугольнике, а синус (sin) угла B - как отношение катета противолежащего углу B к гипотенузе.
Перепишем данное равенство:
ctg2B - ctg4B = 1/sin4B.
Чтобы доказать данное тождество, мы должны свести его к тождеству, которое уже известно.
Для этого воспользуемся формулой тангенса двойного угла:
tan(2A) = (2tanA)/(1 - tan^2A), где A - угол.
Применим данную формулу к нашему уравнению:
ctg2B - ctg4B = 1/sin4B ,
ctg(2B) = 1/sin4B + ctg(4B).
Подставим в правую часть выражение из формулы тангенса двойного угла:
1/sin4B + ctg(4B) = 1/sin4B + (2ctg2B)/(1 - ctg^22B).
Теперь, чтобы доказать данное тождество полностью, нам нужно свести выражение в левой части к правой.
Обратимся к определению контангенса:
ctg(2B) = cos(2B)/sin(2B).
Подставим это выражение вместо ctg(2B) в уравнение:
cos(2B)/sin(2B) = 1/sin4B + (2ctg2B)/(1 - ctg^22B).
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
cos(2A) = cos^2A - sin^2A.
Применим формулу косинуса двойного угла к выражению в левой части уравнения:
(cos^2B - sin^2B)/sin2B = 1/sin4B + (2ctg2B)/(1 - ctg^22B).
Раскроем sin^2B и sin2B:
(cos^2B - (1 - cos^2B))/2sinBcosB = 1/sin4B + (2ctg2B)/(1 - ctg^22B).
Упростим выражение в левой части:
2cos^2B/2sinBcosB = 1/sin4B + (2ctg2B)/(1 - ctg^22B).
Сократим числитель и знаменатель в левой части:
cosB/sinB = 1/sin4B + (2ctg2B)/(1 - ctg^22B).
Теперь преобразуем правую часть:
1/sin4B + (2ctg2B)/(1 - ctg^22B) = 1/sin4B + (2ctg2B)/(1 - (cos^2B/sin^2B)).
Обратимся к определению контангенса:
ctg(2B) = cos(2B)/sin(2B).
Подставим это выражение вместо ctg(2B) в правую часть уравнения:
1/sin4B + (2cos(2B)/sin(2B))/(1 - (cos^2B/sin^2B)).
Упростим выражение в правой части:
1/sin4B + (2cos(2B)*sin^2B)/(sin^2B - cos^2B).
Распишем формулу двойного аргумента:
cos(2B) = cos^2B - sin^2B.
Вставим его в выражение:
1/sin4B + (2(cos^2B - sin^2B)*sin^2B)/(sin^2B - cos^2B).
Распишем умножение:
1/sin4B + (2cos^2B*sin^2B - 2sin^4B)/(sin^2B - cos^2B).
Сократим cos^2B и sin^2B в центральной части:
1/sin4B + (2sin^2B - 2sin^4B)/(sin^2B - cos^2B).
Факторизуем числитель:
1/sin4B + (2sin^2B(1 - sin^2B))/(sin^2B - cos^2B).
Сократим (sin^2B - cos^2B) в знаменателе с числителем во втором слагаемом:
1/sin4B + 2sin^2B.
Теперь преобразуем правую часть:
1/sin4B + 2sin^2B = 1/sin4B + 2sin^2B*(sin^2B/sin^2B).
Сократим sin^2B во втором слагаемом:
1/sin4B + 2(sin^4B/sin^2B).
Подведем общий знаменатель во втором слагаемом:
1/sin4B + 2(sin^4B/sin^2B) = 1/sin4B + (2sin^4B)/sin^2B.
Объединим слагаемые с одинаковым знаменателем:
1/sin4B + (2sin^4B)/sin^2B = (1 + 2sin^4B)/sin^4B.
Теперь упростим числитель:
1 + 2sin^4B = (sin^4B + sin^2B) + sin^2B = sin^4B + 2sin^2B.
Получаем:
(sin^4B + 2sin^2B)/sin^4B.
Изменим порядок слагаемых в числителе:
2sin^2B + sin^4B/sin^4B.
Выражение в числителе равно 1^2 + sin^2B, что опять равно 1.
Получаем итоговое равенство:
1/sin4B + 1 = 1/sin4B + 1.
Таким образом, мы доказали исходное тождество:
ctg2B - ctg4B = 1/sin4B.