Доказать справедливость неравенств |a+b| меньше либо равно |a|+|b|

Можно скажем возвести в квадрат, тогда получим

Применяя это свойство модуля

После приведения подобных останется

ab ≤ |a||b|

Произведение |a||b| всегда положительно при любых a и b

А произведение ab может быть как положительным (к примеру a>0, b>0 или a<0, b<0), так и отрицательным (a>0, b<0 или a<0, b>0)

В итоге, что и требовалось доказать |a+b|≤ |a|+|b|.

доказать можно, применим свойство модуля: ||=, то есть возведем обе части неравенства  в квадрат:

, сокращаем: 

так как модуль - положительное число (из определения), то , в то время как 2ab может принимать различные значения: как польжительные, так и отрицательные, следовательно