Докажи,что среди восьми различных натуральных чисел,найдутся хотя бы два числа,разность которых делится на 7

Очевидно, что равных чисел не должно быть (иначе их разность - 0, делится на 7). Упорядочим числа в таком порядке: a1<a2<...<a8

Рассмотрим разности a8-a1, a8-a2, a8-a3, ... a8-a7 (всего 7 разностей). Так как разностей таких 7, то 2 из них дают одинаковый остаток при делении на 7. Пусть например это разности 

a8-a1=7k+m

и a8-a2=7l+m

Тогда их разность: a8-a1-a8+a2=a2-a1=7(k-l) делится на 7, что и требовалось доказать