Пусть дано квадратное уравнение a•x²+b•x+c=0, a≠0. Теорема Виета доказывается для приведённых квадратных уравнений, то есть когда коэффициент a=1. А другие уравнения приводятся к такому виду.
Теорема Виета. Числа x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения x²+p•x+q=0 тогда и только тогда, когда пара (x₁; x₂) является решением системы:
Теорема Виета утверждает, что квадратное уравнение и система одновременно разрешимы или неразрешимы. Ещё, теорема Виета даёт подбора корней:
Корни уравнения являются делителями свободного члена q!
Отсюда вывод: если корни уравнения целочисленные, то легко определить корни, если разложить свободный член q на множители.
Рассмотрим примеры.
Пример-1. Решить уравнение: x²–3•x+2=0.
Решение. По теореме Виета x₁ + x₂ = 3 и x₁ · x₂ = 2. Предполагая, что корни уравнения целочисленные рассмотрим разложение: 2 = 1•2 = (–1)•(–2). Но из x₁ + x₂ = 3 видно, что корнями уравнения будут x₁=1 и x₂=2.
Пример-2. Решить уравнение: x²–6•x+8=0.
Решение. По теореме Виета x₁ + x₂ = 6 и x₁ · x₂ = 8. Предполагая, что корни уравнения целочисленные рассмотрим разложение: 8 = 1•8 = 2•4 = (–1)•(–8) = (–2)•(–4). Но из x₁ + x₂ = 6 видно, что корнями уравнения будут x₁=2 и x₂=4.
Пример-3. Решить уравнение: x²+4•x+4=0.
Решение. По теореме Виета x₁ + x₂ = –4 и x₁ · x₂ = 4. Предполагая, что корни уравнения целочисленные рассмотрим разложение: 4 = 1•4 = 2•2 = (–1)•(–4) = (–2)•(–2). Но из x₁ + x₂ = –4 видно, что корнями уравнения будут x₁= –2 и x₂= –2.
Пусть дано квадратное уравнение a•x²+b•x+c=0, a≠0. Теорема Виета доказывается для приведённых квадратных уравнений, то есть когда коэффициент a=1. А другие уравнения приводятся к такому виду.
Теорема Виета. Числа x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения x²+p•x+q=0 тогда и только тогда, когда пара (x₁; x₂) является решением системы:
Теорема Виета утверждает, что квадратное уравнение и система одновременно разрешимы или неразрешимы. Ещё, теорема Виета даёт подбора корней:
Корни уравнения являются делителями свободного члена q!
Отсюда вывод: если корни уравнения целочисленные, то легко определить корни, если разложить свободный член q на множители.
Рассмотрим примеры.
Пример-1. Решить уравнение: x²–3•x+2=0.
Решение. По теореме Виета x₁ + x₂ = 3 и x₁ · x₂ = 2. Предполагая, что корни уравнения целочисленные рассмотрим разложение: 2 = 1•2 = (–1)•(–2). Но из x₁ + x₂ = 3 видно, что корнями уравнения будут x₁=1 и x₂=2.
Пример-2. Решить уравнение: x²–6•x+8=0.
Решение. По теореме Виета x₁ + x₂ = 6 и x₁ · x₂ = 8. Предполагая, что корни уравнения целочисленные рассмотрим разложение: 8 = 1•8 = 2•4 = (–1)•(–8) = (–2)•(–4). Но из x₁ + x₂ = 6 видно, что корнями уравнения будут x₁=2 и x₂=4.
Пример-3. Решить уравнение: x²+4•x+4=0.
Решение. По теореме Виета x₁ + x₂ = –4 и x₁ · x₂ = 4. Предполагая, что корни уравнения целочисленные рассмотрим разложение: 4 = 1•4 = 2•2 = (–1)•(–4) = (–2)•(–2). Но из x₁ + x₂ = –4 видно, что корнями уравнения будут x₁= –2 и x₂= –2.
Вот основная суть теоремы Виета.