Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке [-0,5;1], нужно найти точки, где значение функции минимально. Для этого мы можем использовать метод производной.
1. Найдем производную функции y=x³+x², чтобы найти точки экстремума:
y' = 3x² + 2x
2. Пусть y' = 0, и найдем значения x, которые удовлетворяют этому условию:
3x² + 2x = 0
3. Решим полученное уравнение:
x(3x + 2) = 0
Рассмотрим два случая:
а) x = 0:
Подставим это значение обратно в исходную функцию:
y = (0)³ + (0)² = 0
б) 3x + 2 = 0:
Перенесем 2 на другую сторону уравнения:
3x = -2
Разделим обе части на 3:
x = -2/3
Подставим это значение обратно в исходную функцию:
y = (-2/3)³ + (-2/3)² = -8/27 + 4/9 = -8/27 + 12/27 = 4/27
Итак, мы получили две точки, в которых значение функции может быть минимальным: (0, 0) и (-2/3, 4/27).
4. Оценим значения функции в концах отрезка [-0,5;1]:
Подставим x = -0,5 в исходную функцию:
y = (-0,5)³ + (-0,5)² = -0,125 + 0,25 = 0,125
Подставим x = 1 в исходную функцию:
y = (1)³ + (1)² = 1 + 1 = 2
5. Сравним все полученные значения и найдем наименьшее:
Вершина функции y=x³+x² находится в точке (-2/3, 4/27), и значение функции в этой точке равно 4/27. Значит, наименее значение функции на отрезке [-0,5;1] равно 4/27 (округленное до десятых - 0,15).
Таким образом, наименьшее значение функции y=x³+x² на заданном отрезке [-0,5;1] равно 4/27 или 0,15.
1. Найдем производную функции y=x³+x², чтобы найти точки экстремума:
y' = 3x² + 2x
2. Пусть y' = 0, и найдем значения x, которые удовлетворяют этому условию:
3x² + 2x = 0
3. Решим полученное уравнение:
x(3x + 2) = 0
Рассмотрим два случая:
а) x = 0:
Подставим это значение обратно в исходную функцию:
y = (0)³ + (0)² = 0
б) 3x + 2 = 0:
Перенесем 2 на другую сторону уравнения:
3x = -2
Разделим обе части на 3:
x = -2/3
Подставим это значение обратно в исходную функцию:
y = (-2/3)³ + (-2/3)² = -8/27 + 4/9 = -8/27 + 12/27 = 4/27
Итак, мы получили две точки, в которых значение функции может быть минимальным: (0, 0) и (-2/3, 4/27).
4. Оценим значения функции в концах отрезка [-0,5;1]:
Подставим x = -0,5 в исходную функцию:
y = (-0,5)³ + (-0,5)² = -0,125 + 0,25 = 0,125
Подставим x = 1 в исходную функцию:
y = (1)³ + (1)² = 1 + 1 = 2
5. Сравним все полученные значения и найдем наименьшее:
Вершина функции y=x³+x² находится в точке (-2/3, 4/27), и значение функции в этой точке равно 4/27. Значит, наименее значение функции на отрезке [-0,5;1] равно 4/27 (округленное до десятых - 0,15).
Таким образом, наименьшее значение функции y=x³+x² на заданном отрезке [-0,5;1] равно 4/27 или 0,15.