Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти общее решение (общий интеграл) для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

Найти общее решение (общий интеграл) для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка

Ответ:

alyamirnaya28

15.02.2021 12:52

$y'' - {e}^{y} y' = 0$

понижаем порядок:

$y'= z(y)\\ y'' = z'(y) \times y'\\ y''= z' \times z$

$z' \times z - {e}^{y} z = 0 \\ \frac{dz}{dy} \times z = {e}^{y}z \\ \frac{dz}{dy} = {e}^{y} \\ z = \int\limits {e}^{y} dy \\ z = {e}^{y} + C1 \\ y' = {e}^{y} + C1 \\ \frac{dy}{dx} = {e}^{y} + C1 \\ \int\limits \frac{dy}{ {e}^{y} + C1} = \int\limits \: dx$

$\\ \int\limits \frac{dy}{ {e}^{y} + C1}$

${e}^{y} = t \\ {e}^{y} dy = dt \\ dy = \frac{dt}{t}$

$\int\limits \frac{dt}{t(t + C1)} \\ \\ \\ \frac{1}{t(t + C1)} = \frac{ A}{t} + \frac{B}{t + C1} \\ 1 = A(t + C1) + Bt \\ \\ 1 = AC1 \\ 0 = A + B\\ A= \frac{1}{C1} \\ B = - \frac{1}{C1}$

$\frac{1}{C1} \int\limits \frac{dt}{t} - \frac{1}{C1} \int\limits\frac{dt}{t + C1} = \\ = \frac{1}{C1} ( ln(t) - ln(t + C1)) = \\ = \frac{1}{C1} ln( \frac{t}{t + C1} ) = \frac{1}{C1} ln( \frac{ {e}^{y} }{ {e}^{y} + C1} )$

$\frac{1}{C1} ln( \frac{ {e}^{y} }{ {e}^{y} + C1} ) = x + C2 \\ln( \frac{ {e}^{y} }{ {e}^{y} + C1} ) = C1(x + C2 )\\$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

BMOPLAY23

12.03.2023 16:54

Опиши свойства квадратичной функции y = x2 – 10x + 24. D(y) = . Вершина параболы: . Так как , ветви параболы направлены вверх. Функция возрастает на промежутке: x ∈...

aruzhan7klass

27.02.2020 07:39

Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из его катетов на 9 см и больше другого катета на 32 см. найдите стороны треугольника. ( напишите решение подробно)...

itrufanova2016

27.02.2020 07:39

Футболка стоила 400р. после повышения цены она стала стоить 440р на сколько процентов была повышена цена футболкии?...

Fluttershy0

27.02.2020 07:39

Из города а в противоположных направлениях выехали два автомобиля черз 3 часа расстояние между ними было 330 км каждый двигался с постоянной скоростью ,но первый делал...

57862327685

27.02.2020 07:39

Известно, что при делении на 11 число а дает остаток 7. какой остаток получится при делении на 11 значения выражения 2а во 2 степени+3а+4?...

gulkogulkovno

27.02.2020 07:39

10. от квадратного листа картона отрезали полосу шириной 3 см. площадь оставшейся части равна 70 см2. какова первоначальная площадь листа картона? а. 106 см2. б. 100...

qwsdftuik

27.02.2020 07:39

Найти для функции f(x)=4x в кубе-2x+3 первоначальную, график которой проходит через точку а(1; -2)...

SerPol

27.02.2020 07:39

Укажите какому промежутку пренадлежат нули функции у= -4хв2степени+13х+12...

ридер

27.02.2020 07:39

Водном магазине упаковок из 4-х банок джема стоит 70 руб.,а в другом упаковка из 6 банок - 90 руб. в каком магазине выгоднее покупать джем?...

ОлимпМальчик321

27.02.2020 07:39

Одна швея за три часа шьёт 4 фартука вторая - за 5 часов 7 фартуков . у кого них выше производительнось?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку