Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, - это прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс: k = tgα
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).
Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо:
y = f(xо) + f ′(xо) (x – xо)
Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):
Вычислить f ( x0 )
Вычислить производные f '( x) и f '( x0 )
Внести найденные числа x0, f ( x0 ) ,f '( x0 ) в уравнение касательной и решить его
Пример: Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2x2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Решение.
Следуем алгоритму.
1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо):
f(xо) = f(2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит:
f ′(x) = 3х2 – 2 ∙ 2х = 3х2 – 4х.
Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо):
f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
Объяснение:
Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, - это прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс: k = tgα
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).
Угловой коэффициент касательнойУгловой коэффициент касательнойУгловой коэффициент касательнойУгловой коэффициент касательной
Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо:
y = f(xо) + f ′(xо) (x – xо)
Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):
Вычислить f ( x0 )
Вычислить производные f '( x) и f '( x0 )
Внести найденные числа x0, f ( x0 ) ,f '( x0 ) в уравнение касательной и решить его
Пример: Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2x2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Решение.
Следуем алгоритму.
1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо):
f(xо) = f(2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит:
f ′(x) = 3х2 – 2 ∙ 2х = 3х2 – 4х.
Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо):
f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
у = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.
ответ: у = 4х – 7.