Назовём высотой натурального числа N наибольшее возможное n, при котором уравнение N=x1x2...xn
разрешимо в целых числах xi≥2. Сколько существует чисел максимальной высоты, не превосходящих 1010?

ответ: существует 6 чисел

Объяснение:

1. Заметим, что никакое число, не превосходящее 1010, не может иметь высоту 4. Действительно, наименьшее число высоты 4 — это

2222=216, при этом это число больше 1010.

 2. Между тем числа высоты 3, не превосходящие 1010, существуют. Например, 16=222 имеет высоту 3. Таким образом, задача свелась к подсчёту количества чисел высоты 3, не превосходящих 1010.

 3. Заметим, что

 29≤1010≤210,

 36≤1010≤37,

 44≤1010≤45,

 54≤1010≤55,

 63≤1010≤64.

 4. Найдём количество чисел высоты 3, не превосходящих 1010. Это то же самое, что найти количество решений неравенства:

x1x2x3≤1010, xi≥2.

Если x1=2, то x2x3≤9, отсюда x2=x3=2, или x2=2, x3=3, или x2=3, x3=2. Отсюда получаем 3 решения.

Далее, если x1=3,4,5, получаем, что x2=x3=2, что даёт ещё три решения.

Наконец, при x1≥6 получаем, что x2x3≤3. Но так как xi≥2, то таких x2, x3 не существует.

 5. Таким образом, получаем 3+3=6 чисел максимальной высоты, не превосходящих 1010.