Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите сумму cos^2 x + cos^2 2x + cos^2 3x + ⋯ + cos^2 nx

Ответ:

дана396

27.12.2020 15:39

$S = \cos^2x + \cos^22x + \cos^23x + \cdots + \cos^2nx$

$\cos^2(\alpha) = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$

$S = \frac{1+\cos2x}{2} + \frac{1+\cos4x}{2} + \frac{1+\cos6x}{2} +\cdots +\frac{1+\cos(2nx)}{2} =$

$= \frac{1}{2}\cdot(n+S_1)$

$S_1 = \cos(2x)+\cos(4x)+\cos(6x)+\cdots +\cos(2nx) =$

$= \frac{1}{2\sin(x)}\cdot(2\sin(x)\cos(2x) + 2\sin(x)\cos(4x)+2\sin(x)\cos(6x)+\cdots +$

$+ 2\sin(x)\cos(2nx)) = V$

$2\sin(\alpha)\cos(\beta) = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha - \beta) =$

$= \sin(\beta + \alpha) - \sin(\beta - \alpha)$

$V = \frac{1}{2\sin(x)}\cdot( (\sin(2x+x) - \sin(2x - x) )+ (\sin(4x+x) - \sin(4x-x)) +$

$+ (\sin(6x+x) - \sin(6x-x)) + \cdots + (\sin(2nx + x) - \sin(2nx - x)) ) =$

$= \frac{1}{2\sin(x)}\cdot( (\sin(3x) - \sin(x)) + (\sin(5x) - \sin(3x)) +$

$+ (\sin(7x) - \sin(5x)) + \cdots + (\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x)) ) =$

$= \frac{1}{2\sin(x)}\cdot( \sin((2n+1)x) - \sin(x) ) = W$

$\sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2\cdot\sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\cdot\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$

$W = \frac{1}{2\sin(x)}\cdot( 2\sin(\frac{2nx+x - x}{2})\cos(\frac{2nx+x+x}{2})) =$

$= \frac{1}{\sin(x)}\cdot( \sin(nx)\cos((n+1)x) ) = \frac{\sin(nx)\cos((n+1)x)}{\sin(x)}$

$S = \frac{1}{2}\cdot(n+\frac{\sin(nx)\cos((n+1)x)}{\sin(x)}) =$

$= \frac{n}{2} + \frac{\sin(nx)\cos((n+1)x)}{2\sin(x)}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Пётр75

24.09.2022 09:25

Найдите два положительных числа, одно из которых на 12 больше другого, а их произведение равно 405. 2)Одна из сторон прямоугольника на 15см больше другой, а его площадь...

scapper

23.07.2022 00:12

P(x)=-x3+10x2+2x+a-3p, K(x)=x3+(a+2p) x2+2x-5?...

dfgro

20.03.2023 21:24

208. Сравните значения выражений...

galitskovao

09.07.2020 16:17

Из точки А ёжик выехал в точку Б, сколько он проехал, если путь занял 12 часов на скорости 2км/ч...

Мария20684

24.05.2021 12:36

7-сынып Алгебра 140-бет 5.59-есеп...

RomeOMeD

01.09.2022 01:11

Упростите выражения (34.5—34.6): 5. 1) (x-10)(х2 + 10x + 100) - x3; 2) 216 - (a + 6)(а? - 6а + 36);3) y + (7 - y)(49-7y+y²)...

mr1assira

27.04.2022 14:55

найдите нули функции! Быстро...

ttania4444

02.06.2020 15:41

Знатоки, нужна Исследовав функцию y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+c, начертите график, когда:f(x)=4+3x^2-x^4(не расписывайте очень много...

andreydikenson1

27.10.2022 10:27

Преобразуйте в одночлен стандартного вида:б) (2ab³c²)^6в) (-3х³)²*5х³...

Fetissh1

11.02.2022 07:31

Логарифм пошагово log64+log1...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку