а) Функция f(x) = √(9-x²) задана под корнем.
Чтобы найти его область изменения, нужно найти значения x, при которых выражение под корнем неотрицательно. Для этого решим неравенство:
9 - x² ≥ 0
Перенесем все в одну сторону и получим:
x² ≤ 9
Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства и учтем, что корень извлекается с сохранением знака:
-√9 ≤ x ≤ √9
Таким образом, область изменения функции f(x) = √(9-x²) на отрезке [-1, √5].
б) Функция f(x) = x²-4x+6+(1/x²-4x+5) задана рациональным выражением.
Чтобы определить ее область изменения, нужно рассмотреть два случая:
1) Выражение x²-4x+5 в знаменателе должно быть отлично от нуля, так как деление на ноль невозможно. Найдем значения x, при которых это условие выполняется:
x²-4x+5 ≠ 0
(x-2)²+1 ≠ 0
Выражение (x-2)²+1 всегда положительно, поэтому нет никаких ограничений на этот случай.
2) Найдем область изменения для числителя x²-4x+6.
Для этого воспользуемся методом нахождения вершину параболы:
Для функции f(x) = x²-4x+6, вершина находится по формуле x = -b/(2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.
a = 1, b = -4, c = 6
x = -(-4)/2*1 = 4/2 = 2
Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, f(2)).
Мы можем увидеть, что коэффициент при x^2 положительный, поэтому парабола направлена вверх, а значит, что значение функции f(x) = x²-4x+6 будет наименьшим в вершине параболы и неограниченно возрастать при увеличении x.
Таким образом, область изменения функции f(x) = x²-4x+6+(1/x²-4x+5) равна отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, за исключением точек, при которых x²-4x+5 = 0.
Чтобы найти его область изменения, нужно найти значения x, при которых выражение под корнем неотрицательно. Для этого решим неравенство:
9 - x² ≥ 0
Перенесем все в одну сторону и получим:
x² ≤ 9
Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства и учтем, что корень извлекается с сохранением знака:
-√9 ≤ x ≤ √9
Таким образом, область изменения функции f(x) = √(9-x²) на отрезке [-1, √5].
б) Функция f(x) = x²-4x+6+(1/x²-4x+5) задана рациональным выражением.
Чтобы определить ее область изменения, нужно рассмотреть два случая:
1) Выражение x²-4x+5 в знаменателе должно быть отлично от нуля, так как деление на ноль невозможно. Найдем значения x, при которых это условие выполняется:
x²-4x+5 ≠ 0
(x-2)²+1 ≠ 0
Выражение (x-2)²+1 всегда положительно, поэтому нет никаких ограничений на этот случай.
2) Найдем область изменения для числителя x²-4x+6.
Для этого воспользуемся методом нахождения вершину параболы:
Для функции f(x) = x²-4x+6, вершина находится по формуле x = -b/(2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.
a = 1, b = -4, c = 6
x = -(-4)/2*1 = 4/2 = 2
Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, f(2)).
Мы можем увидеть, что коэффициент при x^2 положительный, поэтому парабола направлена вверх, а значит, что значение функции f(x) = x²-4x+6 будет наименьшим в вершине параболы и неограниченно возрастать при увеличении x.
Таким образом, область изменения функции f(x) = x²-4x+6+(1/x²-4x+5) равна отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, за исключением точек, при которых x²-4x+5 = 0.