Вравносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. во второй треугольник таким же вписан третий и т. д. докажите, что периметры треугольников образуют прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника

Поскольку вершины каждого вписанного треугольника - середины сторон предидущего, то его стороны - средние линии предидущего, т.е. каждая сторона меньшего треугольника равна половине параллельной ей стороне большего треугольника =>

Так как данный треугольник равносторонний, то его периметр равен

P1 = а+а+а = 3a, где а - сторона треугольника. (а=16 поусловию задачи)

у следующего треугольника

 P2 = 1/2а+1/2а+1/2а = 3a*1/2, у следующего

Р3 = 1/2 * 1/2 * 3а и т.д. 

так периметры данных треугольников образуют геометрическую прогрессию, знаманателем которой является

q = P2/P1 =  (3a*1/2)/3a = 1/2

Теперь можно найти периметр шестого треугольника

Р6 = Р1*q^(6-1) = P1*q^5 = 3a*(1/2)^5 = 3*16/32 = 1,5 (см)