Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимос

Ответ:

madishalabaev

24.11.2020 13:31

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{5^nx^n}{3^nn^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$

$\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{5^n}{3^nn^4}}=\dfrac{5}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^4}}=\dfrac{5}{3}\\ \Rightarrow R=\dfrac{3}{5}$

А значит интервал сходимости $x\in(-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5})$

Исследуем на концах:

$x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^4}$ - сходится как обобщенный гармонический ряд с k=41

$x=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(-\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$

Заметим, что ряд из модулей $\sum\limits_{n=1}^\infty |b_n|=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^4}$ сходится (по доказанному ранее). А значит и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}$ сходится

А тогда исходный ряд сходится на $\left[-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5}\right]$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

qwrt1337

10.02.2021 00:05

Разложить на квадратный трехчлен x2-14x+45 (2 это степень) с дискриминантом...

dasha20079

10.02.2021 00:05

А) -3х=-21 х=-21: (-3) х=7 б-2 х= 3 5. 10 в) 0,5х+0,15=0 г) 03р-5=6-0,7р д) (6-2х)+4=-5х-3...

COCOBAKUOFFICI

10.02.2021 00:05

3x-x²=0 y²+5y=0 9x²+6x=0 решить эти три уравнения. 12...

prencessviki

10.02.2021 00:05

Преобразуйте выражения,используя законы умножения. 4a*(-3b),8(2x--x)*(-3)...

aleksandrantonov

10.02.2021 00:05

Вдвух бочках одинаковое кол-во воды в 1 бочке сначала увеличилочь на 10% воды потом уменьшилось на 10% во 2 бочке сначало увеличелось на 20% потом уменьшилось 20% в какой...

Pinno4ka

26.01.2020 15:19

Дана функция y= - 1/2 x2 (икс в квадрате) -2x +6 а) постройте её график б) найдите все значения x, при которых функция принимает отрицательные значения в) найдите промежуток...

SashaChif

20.06.2021 17:03

Мне нужно решить 583 (3) 584 (3) 585 (3)...

Макс00796

29.09.2020 14:03

Составьте уравнение касательной к графику функции g (x) = 3x + x², параллельной прямой y = 4-3x....

angelochec1999

18.08.2022 23:41

Постройте график функции: y=2x^2-4x+1 Найдите с графика: a) значения y при x=2 б) значения x при y=0 в) значения x при которых y 0...

zevs34

10.08.2020 07:04

Решите три целые пять седьмых разделить на пять цлые четыре седьмые...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку