Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите наибольшую площадь трапеции и ее периметр, если три стороны трапеции равны а (через производную)

Ответ:

natalia245p025sf

15.10.2020 15:51

Пусть ABCD — трапеция. Так как AB=BC=CD=a , то эта трапеция равнобедренная. Опустим перпендикуляр к большему основанию . Из прямоугольного треугольника ABH:

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-BC}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-a}{2}\right)^2}$

$S=\dfrac{AD+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{\big(AD-a\big)^2}{4}}$

Обозначим AD=x и рассмотрим функцию $S(x)=\dfrac{x+a}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}$

$S'(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}+\dfrac{x+a}{2}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}\cdot\left(-\dfrac{x-a}{2}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}+\dfrac{a^2-x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=\dfrac{a^2+\dfrac{2ax-2x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=0\\ \\ \\ 2a^2+ax-x^2=0\\ \\ x^2-ax-2a^2=0\\ \\ D=a^2+8a^2=9a^2;~~\sqrt{D}=8a$

$x_1=\dfrac{a+3a}{2}=2a;~~~ x_2=\dfrac{a-3a}{2}=-a$

Значение x_2 , можем отбросить. Функцию S(x) мы исследуем на промежутке решения неравенства $a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}\geq0$ и .

$(x-a)^2\leq 4a^2\\ \\ -2a\leq x-a\leq 2a\\ \\ -a\leq x\leq 3a\cup a0~~\Rightarrow~~ 0$

(0)_____+___(2a)___-____(3a)

В точке x=2a функция S(x) имеет наибольшее значение и равна $S(2a)=\dfrac{2a+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{(2a-a)^2}{4}}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

Периметр трапеции: P=a+a+a+2a=5a

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

СлишкомУмная1

07.10.2020 22:59

Знайдіть |а| |b| якщо а=(2;3) b=(4;5(...

vlad1457

07.10.2020 22:43

Знайдіть |a+b| якщо а=(2;3) b=(4;5)...

MashichNya

20.12.2021 06:56

Знайдіть a вектор + b вектор якщо а = (2;3) b (4;5)...

UskovaV99

19.12.2021 13:23

Прямая у=kx+b проходит через точку B (-4; 7) и точку пересечения графиков уравнений x+y=6 и y-x=2. запиши уравнение этой прямой....

Zahar4472

16.12.2022 01:16

В августе 2023 года Виталий Андреевич планирует взять кредит в банке в размере S тысяч рублей. Условия его возврата таковы : - каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению со...

GT3

19.10.2022 16:13

4,2/7 *6,2/3-3,6*1/3+4,5/7*6,2/3-1/3*5,4...

LYUBASHA83

19.10.2022 16:13

Сума п’яти послідовних натуральних чисел дорівнює 875, чому дорівнює найбільше з цих чисел?...

никич43

19.10.2022 16:13

Начертите фигуру площадь ,которой равна 18 кв.см...

ezof2

19.10.2022 16:13

Представьте в виде многочлена вырождение (3а-1)²...

Kseniacаt

31.07.2020 14:48

1)sin^3(x/3)-sin^2(x/3)cos(x/3)-3sin(x/3)cos^2(x/3)+3cos^3(x/3)=0. 2) sin(x)-sin(2x)=2sin^2(x/2). 3) 2sin(4x)+16sin^3(x)cos(x)+3cos(2x)-5=0....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку