Алгебра: Решить уравнение: sin2x=√2|cosx|

Решить уравнение: sin2x=√2|cosx|

Ответ:

Vadim43k

15.10.2020 14:59

$\sin2x=\sqrt{2} |\cos x|$

1. Раскроем модуль при условии $\cos x\geq 0$ :

$\sin2x=\sqrt{2} \cdot\cos x$

$2\sin x\cos x-\sqrt{2} \cdot\cos x=0$

$\cos x(2\sin x-\sqrt{2}) =0$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ 2\sin x-\sqrt{2} =0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ \sin x=\dfrac{\sqrt{2} }{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\ \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \\ x=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array}\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Однако корни $x=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n$ не удовлетворяют условию раскрытия модуля. Поэтому окончательный ответ:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

2. Раскроем модуль при условии $\cos x$ :

$\sin2x=-\sqrt{2} \cdot\cos x$

$2\sin x\cos x+\sqrt{2} \cdot\cos x=0$

$\cos x(2\sin x+\sqrt{2} )=0$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ 2\sin x+\sqrt{2} =0\end{array}$

Заметим, что первое уравнение не удовлетворят условию раскрытия модуля. Продолжаем решать только второе уравнение:

$\sin x=-\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

$\left[\begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \\ x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Однако корни $x=-\dfrac{\pi }{4}+2\pi n$ не удовлетворяют условию раскрытия модуля. Поэтому окончательный ответ этого случая:

$x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n$

3. Объединим решения, полученные в предыдущих пунктах:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n\\ x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Или более кратко:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

ответ: $\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \dfrac{\pi }{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

лалала74

11.11.2020 04:41

Когда был изобретён интернет? ...

ЯковНосков

08.11.2021 01:19

Решить уравнения: 1) 2cosx +1=0 2)sin2x - 3sinxcosx + 2cos2x = 0...

Профессионал228

08.11.2021 01:19

Сколькими можно выбрать 3 конфеты из 8 различных? , объясните как решать подобные . у меня плохо развито логик мышление : в...

Reginka24082007

23.01.2023 05:44

A^3b+a^2cd-abcd-c^2d^2 разложить на множители...

egoregorov5431

23.01.2023 05:44

50 ! дана арифметическая прогрессия (а^n) разность которой равна -5,3; а1=-7,7. найдите а7...

Maksim2553

30.08.2022 10:12

Решите уравнение(х-2)³-х²(х-6)=13х-7...

knaletov

26.01.2023 13:38

Найдите значение выражения (y7- v5xy7+ v5)...

dimа11

11.08.2021 18:10

Бетонный шар весит 0,5.сколько тонн будет весит шар вдвое большего радиуса,сделанный из такогоже батона?...

Uliana44441

27.04.2021 18:35

Туристы, осматривая достопримечательности края, проплыли сначала 24 км по течению реки, затем 10 км по озеру. возвращаясь домой тем же маршрутом, они затратили на путь против...

marfa228

27.04.2021 18:35

Найдите значение выражения a^2+4a-7 при a=5-корень из двух...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку