Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. 1) $x^{3} y'' +x^{2} y'=1$
2) $yy''+ (y')^{2}=0, y(0)=1, y'(0)=1$

Ответ:

Operator404

06.09.2020 22:54

$1)\ \ x^3\cdot y''+x^2\cdot y'=1\\\\y'=z(x)\ \ ,\ \ y''=z'(x)\\\\x^3\cdot z'+x^2\cdot z=1\ \ ,\ \ \ z'+\dfrac{z}{x}=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\ \ \ z=uv\ ,\ z'=u'vz=uv'\ \ ,\\\\u'v+uv'+\dfrac{uv}{x}=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\ \ \ u'v+u\, (v'+\dfrac{v}{x})=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\\\\a)\ \ \dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{v}{x}\ \ ,\ \ \int \dfrac{dv}{v}=-\int \dfrac{dx}{x}\ \ ,\ \ ln|v|=-ln|x|\ \ ,\ \ v=\dfrac{1}{x}$

$b)\ \ \dfrac{du}{dx}\cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\ \ \int du=\int \dfrac{dx}{x^2}\ \ ,\ \ u=-\dfrac{1}{x}+C_1\\\\c)\ \ z=\dfrac{1}{x}\cdot (-\dfrac{1}{x}+C_1)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x}\\\\d)\ \ y'=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x}\ \ ,\ \ \int dy=\int (-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x})\, dx\ \ ,\\\\\underline {\ y=\dfrac{1}{x}+C_1\cdot ln|x|+C_2\ }$

$2)\ \ y\cdot y''+(y')^2=0\ \ ,\ \ y(0)=1\ ,\ y'(0)=1\\\\y'=p(y)\ \ ,\ \ y''=\dfrac{dp}{dy}\cdot p\\\\y\cdot \dfrac{dp}{dy}\cdot p+p^2=0\ \ ,\ \ \dfrac{dp}{dy}\cdot yp=-p^2\ \ \int \dfrac{dp}{p}=-\int \dfrac{dy}{y}\ \ ,\\\\ln|p|=-ln|y|+lnC_1\ \ ,\ \ \ p=\dfrac{C_1}{y}\ \ ,\ \ y'=\dfrac{C_1}{y}\ \ ,\\\\y'(0)=1\ ,\ y(0)=1:\ \ 1=\dfrac{C_1}{1}\ \ \to \ \ C_1=1\\\\y'=\dfrac{1}{y}\ \ ,\ \ \int y\cdot dy=\int dx\ ,\\\\\dfrac{y^2}{2}=x+C_2\ \ ,\ \ y^2=2\, (x+C_2)\ \ ,$

$y(0)=1:\ \ 1=2(0+C_2)\ \ \to \ \ C_2=\dfrac{1}{2}\\\\y^2=2\, (x+\dfrac{1}{2})\ \ ,\ \ \ \underline {\ y^2=2x+1\ }$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

sofiya84

04.08.2020 07:01

До іть будь ласочкааа система х⁴-у⁴=3, х²+у²=3;...

26032004й

26.11.2022 20:34

Найдите сумму всех целых решений неравенства (решение)...

Ignat20032612

26.08.2021 08:51

, просто и понятно Очень нужно...

malina20023

01.09.2022 05:50

Log 0,5 (3-2x ) или равно 1...

iVorobey

10.02.2022 21:00

Найти производные произведения 1) f(x) = x⁷sinx; 2) f(x) = x⁶cosx....

harrasova2000ozvpju

12.07.2021 14:35

5x^2+3x-3=0 определить, сколько корней имеет уравнение...

6valeria6

12.07.2021 14:35

Заказ по выпуску машин должен быть выполнен по плану за 20 дней. но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана и поэтому выполнил заказ за 18 дней. сколько машин должен был...

long6

12.07.2021 14:35

10 клас спростити вираз: ( выражение: )...

GoldGriffon

12.07.2021 14:35

Найдите наименьший положительный корень уравнения) надо) корень из 3sin px/6+cos px/6=2...

дархан23

12.07.2021 14:35

Один оператор компьютерного набора должен набрать рукопись, состоящую из 120 страниц, а второй - из 100. первый ежечасно набирает на 1 страницу больше, чем второй.сколько страниц...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку