Войти Регистрация Спроси ai-bota

Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл $\int\limits^2_{-2} {} \, dx \int\limits^{\frac{\sqrt{4-x^{2} } }{\sqrt{2} } }_{-\frac{\sqrt{4-x^{2} } }{\sqrt{2} } } {} \, dy$

Ответ:

kirilos2014

09.06.2020 11:44

ответ: 2π√2

Объяснение:

$-2\leqslant x\leqslant 2,\\ -\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{2}}\leqslant y\leqslant\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{2}}$

$\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{2}}=y~~~\Longleftrightarrow~~~~ 4-x^2=2y^2~~~~\Longleftrightarrow~~~~ x=\pm\sqrt{4-2y^2}$

Найдем точки пересечения с осью ординат

x = 0: 4 - 2y² = 0 ⇔ y = ± √2

$\displaystyle \int\limits^2_{-2} {} \, dx\int\limits^{\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{2}}}_{-\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{2}}} {} \, dy=\int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {} \, dy\int\limits^\big{\sqrt{4-2y^2}}_\big{-\sqrt{4-2y^2}} {} \, dx=\\ \\ \\ \\ =\int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} dy\,\,\, x\bigg|^{\sqrt{4-2y^2}}_{-\sqrt{4-2y^2}}=\int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}}\bigg(\sqrt{4-2y^2}+\sqrt{4-2y^2}\bigg)dy=$

$=\displaystyle 2\int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}}\sqrt{4-2y^2}dy=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigg(y\sqrt{2-y^2}+2\arcsin\frac{y}{\sqrt{2}}\bigg)\bigg|^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}}=\\ \\ \\ =2\sqrt{2}\bigg(\arcsin1-\arcsin(-1)\bigg)=2\sqrt{2}\bigg[\dfrac{\pi}{2}-\bigg(-\dfrac{\pi}{2}\bigg)\bigg]=2\pi\sqrt{2}$

$Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл [tex]\int\limits^2_{-2} {} \, dx \int\l$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

vikab4

18.04.2021 16:57

Скоротіть дріб 25n⁵m⁴/15n⁷m³...

Ольга12919

22.01.2020 09:45

Реши уравнение x²−12x+2=0. (Если уравнение не имеет корней, то поставь «−», если имеет решение, то впиши ответ в возрастающем порядке.) ответ:...

DarinaLove11

14.09.2020 22:39

кому не сложно контрольная работа...

masha3521

22.04.2021 14:37

За теоремою Вієта сума коренів квадратного рівняння х^2-3х+2=0...

amorfteriya

25.06.2022 13:39

Розвяжіть систему рівнянь 5х БАЛОВ...

PaymLaim

03.11.2021 04:11

на это: 1)xy =y(1-ln(y/x)) 2)y +yctg(x)=(1/sin(x))...

Kazhimyrat0210

26.11.2020 21:49

с решением ❤️ По возможности с чертежом...

diyarbek2120313

01.03.2021 02:48

С производной построить график функции на отрезке [ -1;5 ] y=x^3-6x^2+9...

ayratka2

14.04.2023 09:50

З двох пунктів, відстань між якими дорівнює 33 км, вирушили одночасно назустріч один одному двоє велосипедистів і зустрілися через 1,5 год. З якою швидкістю їхав...

virtuspro2000

10.06.2021 19:29

Алгебра 7 класс решения как...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку