Войти Регистрация Спроси ai-bota

найти определённый интеграл

Ответ:

yoyo97

13.09.2020 23:51

$\int \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx=\Big[\; x=\dfrac{1}{cost}\; ,\; dx=\dfrac{sint\; dt}{cos^2t}\; ,\; x^2-1=\dfrac{1}{cos^2t}-1=tg^2t\; \Big]=\\\\\\=\int \dfrac{tgt}{\frac{1}{cos^4t}}\cdot \dfrac{sint\; dt}{cos^2t}=\int \dfrac{sint\; \cdot \; sint}{\frac{1}{cos^2t}}\, dt=\int sin^2t\cdot cos^2t\, dt=\int (sint\cdot cost)^2\, dt=\\\\\\=\int \Big(\; \dfrac{1}{2}\cdot sin2t\Big)^2\, dt=\dfrac{1}{4}\int sin^22t\, dt=\dfrac{1}{4}\int \dfrac{1-cos4t}{2}\, dt=\dfrac{1}{8}\int (1-cos4t)\, dt=$

$=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(\; t-\dfrac{1}{4}\, sin4t\; \Big)+C=\dfrac{1}{8}\cdot (arccos\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos\dfrac{1}{x})\Big)+C\; ;\\\\\\\\\int\limits^2_1\, \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx=\dfrac{1}{8}\cdot (arccos\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos\dfrac{1}{x})\Big)\Big|_1^2=\\\\\\=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(arccos\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos\dfrac{1}{2})-arccos1+\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos1)\Big)=$

$=\dfrac{1}8}\cdot \Big(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{1}{4}\, sin\dfrac{4\pi }{3}-0+\dfrac{1}{4}\, sin0\; \Big)=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}\; \Big)=\dfrac{1}{8}\cdot \Big (\dfrac{\pi }{3}+\dfrac{\sqrt3}{8}\; \Big)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

kristinakotkotk

25.08.2020 08:09

Найдите общий вид первообразной для функции f(x)=1/x^4-2cosx...

Mawamawa00

25.08.2020 08:09

Представте в виде многочлена выражение: (-3p^4-5k^6)^2...

Ололошка580

25.08.2020 08:09

Раскрыть скобки и подобные члены: (х-2у)+(3х+2у)= (ab^2+ +ab^2 )+(2a — 7)= решить уравнение: 5x — (3x+8)=4 в первой пачке х книг, во второй в 3 раза больше, чем в первой,...

Джеффл1

25.08.2020 08:09

Много ! 1.найти экстремумы функций: 1) f(x)=х^3-х^2-х +2 2) f(x)= (8 -7х)*е^х 2.найти интервалы возрастания и убывания функции f(x)=х^3-х^2-х +2 3 найти наибольшее...

Lovedashuta

25.08.2020 08:09

1) выполните умножение: (−2x+7y)(6x+7) 2)разложите на множители: y(5y+11)−12(−11−5y)...

UlnaeMai

15.04.2020 08:06

Найдите b1 и q, если b1+b2+b3=26 и b1^2+b2^2+b3^2=364...

Шишка33333333333333

20.09.2020 19:00

Сравните числа a и b если , а= cos300градусов, b=350грдусов...

ангелина123456543216

14.08.2021 16:33

Тригонометрические выражение...

marinka10k

04.06.2021 03:16

Будет ли пара чисел (3; −1) решением данной системы уравнений? 2x+11y=15 3x+5y=-12...

melenam08041974

16.10.2021 21:36

Реши систему уравнений методом подстановки: x−2y=−13 7x−10y=7...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку