Добрый день! Давайте по порядку решим данные неравенства.
1) x^2 - 4x - 5 > 0
Начнем с нахождения корней данного квадратного уравнения: x^2 - 4x - 5 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае a = 1, b = -4 и c = -5, поэтому D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два действительных корня: x1 = (-b + √D) / (2a) и x2 = (-b - √D) / (2a).
Итак, неравенство 3x^2 - 12x ≤ 0 выполняется для интервала I (-∞, 0) и интервала III (4, +∞).
3) x^2 > 16
Перенесем все в одну сторону: x^2 - 16 > 0.
Здесь нам пригодится формула разности квадратов: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. В нашем случае a = x, b = 4, поэтому можем переписать неравенство в виде: (x - 4)(x + 4) > 0.
Для того, чтобы произведение двух чисел было положительным, либо оба числа должны быть положительными, либо оба числа должны быть отрицательными. Значит, имеем два интервала, где неравенство выполняется: I (-∞, -4) и III (4, +∞).
4) x^2 - 4x + 4 ≤ 0
Здесь можем сразу заметить, что данное выражение является полным квадратом: (x - 2)^2 ≤ 0.
Полный квадрат всегда неотрицательный, поэтому данное неравенство выполняется только для значения x = 2.
Итак, решение данного неравенства: x = 2.
Все задачи решены! Если остались еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, спрашивайте.
1) x^2 - 4x - 5 > 0
Начнем с нахождения корней данного квадратного уравнения: x^2 - 4x - 5 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае a = 1, b = -4 и c = -5, поэтому D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два действительных корня: x1 = (-b + √D) / (2a) и x2 = (-b - √D) / (2a).
Подставляем значения коэффициентов в формулу и получаем:
x1 = (-(-4) + √36) / (2 * 1) = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5
x2 = (-(-4) - √36) / (2 * 1) = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1
Теперь мы можем построить числовую ось и отметить найденные корни: -1 и 5. Затем проанализируем интервалы между корнями и вне их.
Пусть интервалы будут отмечены буквами: I, II и III.
Для интервала I (-∞, -1) берем произвольное значение x, например, x = -3, и проверяем его значение в исходном неравенстве:
(-3)^2 - 4 * (-3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16 > 0. Значит, для интервала I неравенство выполняется.
Для интервала II (-1, 5) берем любое значение x, например, x = 0, и проверяем его значение в исходном неравенстве:
0^2 - 4 * 0 - 5 = -5 < 0. Значит, для интервала II неравенство не выполняется.
Для интервала III (5, +∞) берем произвольное значение x, например, x = 6, и проверяем его значение в исходном неравенстве:
6^2 - 4 * 6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0. Значит, для интервала III неравенство выполняется.
Итак, неравенство x^2 - 4x - 5 > 0 выполняется для интервала I (-∞, -1) и интервала III (5, +∞).
2) 3x^2 - 12x ≤ 0
Для начала находим корни уравнения 3x^2 - 12x = 0. Выносим общий множитель: 3x(x - 4) = 0. Таким образом, получаем два корня: x1 = 0 и x2 = 4.
Построим числовую ось и отметим найденные корни: 0 и 4. Затем проанализируем интервалы между корнями и вне их.
Пусть интервалы будут обозначены буквами: I, II и III.
Для интервала I (-∞, 0) берем произвольное значение x, например, x = -1, и проверяем его значение в изначальном неравенстве:
3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0. Значит, для интервала I неравенство выполняется.
Для интервала II (0, 4) берем любое значение x, например, x = 1, и проверяем его значение в изначальном неравенстве:
3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9 < 0. Значит, для интервала II неравенство не выполняется.
Для интервала III (4, +∞) берем произвольное значение x, например, x = 5, и проверяем его значение в изначальном неравенстве:
3(5)^2 - 12(5) = 3 * 25 - 60 = 75 - 60 = 15 > 0. Значит, для интервала III неравенство выполняется.
Итак, неравенство 3x^2 - 12x ≤ 0 выполняется для интервала I (-∞, 0) и интервала III (4, +∞).
3) x^2 > 16
Перенесем все в одну сторону: x^2 - 16 > 0.
Здесь нам пригодится формула разности квадратов: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. В нашем случае a = x, b = 4, поэтому можем переписать неравенство в виде: (x - 4)(x + 4) > 0.
Для того, чтобы произведение двух чисел было положительным, либо оба числа должны быть положительными, либо оба числа должны быть отрицательными. Значит, имеем два интервала, где неравенство выполняется: I (-∞, -4) и III (4, +∞).
4) x^2 - 4x + 4 ≤ 0
Здесь можем сразу заметить, что данное выражение является полным квадратом: (x - 2)^2 ≤ 0.
Полный квадрат всегда неотрицательный, поэтому данное неравенство выполняется только для значения x = 2.
Итак, решение данного неравенства: x = 2.
Все задачи решены! Если остались еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, спрашивайте.