Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решите уравнение: $sin(x)+sin(3x)+sin(5x)+sin(7x)=0$

Ответ:

Lis25pfi174

10.10.2020 23:51

$\sin x+\sin3x+\sin5x+\sin7x=0$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(\sin x+\sin7x)+(\sin3x+\sin5x)=0$

Воспользуемся формулой для суммы синусов:

$2\sin\dfrac{x+7x}{2}\cos\dfrac{x-7x}{2}+2\sin\dfrac{3x+5x}{2}\cos\dfrac{3x-5x}{2}=0$

$2\sin4x\cos(-3x)+2\sin4x\cos(-x)=0$

Воспользуемся четностью функции косинуса:

$2\sin4x\cos3x+2\sin4x\cos x=0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2\sin4x(\cos3x+\cos x)=0$

Для суммы косинусов воспользуемся соответствующей формулой:

$2\sin4x\cdot2\cos\dfrac{3x+x}{2}\cos\dfrac{3x-x}{2}=0$

$2\sin4x\cdot2\cos2x\cos x=0$

$4\sin4x\cos2x\cos x=0$

Уравнение распадается на совокупность трех уравнений:

$\left[\begin{array}{l} \sin4x=0 \\ \cos2x=0 \\ \cos x=0 \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} 4x=\pi n \\ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi n}{4} \\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \end{array}$

Заметим, что корни, даваемые второй и третьей серией, также даются и первой серией. Значит, более простая запись решения следующая:

$x=\dfrac{\pi n}{4}, \ n\in Z$

ответ: $\dfrac{\pi n}{4}$ , где n - целые числа

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

efimovvvilyha

17.09.2021 07:21

Буду ( не было на этой теме) а)найдите координаты точки пересечения графика линейного уравнения -4х-3y+12=0 с осями координат б) определите принадлежит ли графику...

Ylana11166

17.09.2021 07:21

Решить систему уравнения 4x(в квадрате) - xy=26 3x(в квадрате) +xy=2...

ruslan2003185

17.09.2021 07:21

Решите уравнения 3(х+4)-25=х-4(х+1)...

manjester1

12.12.2022 13:55

Выполните умножения: (y+5)*(y-5), (4m+9y)*(4 -7x)*(7x+-2b)*(a2+2b)...

Rake4

12.12.2022 13:55

Турист км за 3 дня, во второй день он на 8 км меньше, чем в первый день и на 3 км больше, чем в третий. сколько километров проходил турист в каждый день?...

Djdjjdjdjdjddjjx

12.12.2022 13:55

100m^6-20p^2m^3+p^4 разложите трехчлен на множители...

JaLOX22848

12.12.2022 13:55

Выполните умножение (6c^4-10) (6c^4+10) , мне нужно как можно...

ulaklimenko49

05.08.2022 13:16

Арифметическая прогрессия (an) задана условиями a1=5, an+1=a+12. найдите сумму первых 9 её членов....

maksikus1

05.08.2022 13:16

Найдите корень уравнения (x-3)^2 = (x+8)^2...

aruukewa123

13.12.2020 23:28

Один из углов равнобедренной трапеции равен 67⁰. найти остальные углы.!...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку