Для того чтобы найти область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5), мы должны учесть два момента. Во-первых, подзнак квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. Во-вторых, знаменатель функции не может быть равен нулю, так как это приведет к делению на ноль.
Теперь приступим к решению:
1. Найдем выражение под квадратным корнем: 25 - x^2 + 7
Разложим это выражение на множители: 32 - x^2
Получаем выражение (5 - x)(5 + x)
Таким образом, для того чтобы это выражение было больше или равно нулю, должно выполняться одно из двух условий:
а) (5 - x) ≥ 0 и (5 + x) ≥ 0
б) (5 - x) ≤ 0 и (5 + x) ≤ 0
2. Решим первое условие:
а) (5 - x) ≥ 0 и (5 + x) ≥ 0
a.1) (5 - x) ≥ 0
Решаем неравенство:
5 ≥ x
x ≤ 5
a.2) (5 + x) ≥ 0
Решаем неравенство:
-5 ≤ x
x ≥ -5
Итак, в результате первого условия мы получили, что -5 ≤ x ≤ 5.
3. Решим второе условие:
б) (5 - x) ≤ 0 и (5 + x) ≤ 0
б.1) (5 - x) ≤ 0
Решаем неравенство:
x ≤ 5
б.2) (5 + x) ≤ 0
Решаем неравенство:
-5 ≥ x
x ≤ -5
Здесь мы получили, что x ≤ -5 или x ≥ 5.
4. Окончательно, объединим результаты первого и второго условий:
Область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5) состоит из двух интервалов: (-∞, -5] и [5, +∞).
Таким образом, область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5) составляет все вещественные числа, кроме интервала (-5, 5).
Теперь приступим к решению:
1. Найдем выражение под квадратным корнем: 25 - x^2 + 7
Разложим это выражение на множители: 32 - x^2
Получаем выражение (5 - x)(5 + x)
Таким образом, для того чтобы это выражение было больше или равно нулю, должно выполняться одно из двух условий:
а) (5 - x) ≥ 0 и (5 + x) ≥ 0
б) (5 - x) ≤ 0 и (5 + x) ≤ 0
2. Решим первое условие:
а) (5 - x) ≥ 0 и (5 + x) ≥ 0
a.1) (5 - x) ≥ 0
Решаем неравенство:
5 ≥ x
x ≤ 5
a.2) (5 + x) ≥ 0
Решаем неравенство:
-5 ≤ x
x ≥ -5
Итак, в результате первого условия мы получили, что -5 ≤ x ≤ 5.
3. Решим второе условие:
б) (5 - x) ≤ 0 и (5 + x) ≤ 0
б.1) (5 - x) ≤ 0
Решаем неравенство:
x ≤ 5
б.2) (5 + x) ≤ 0
Решаем неравенство:
-5 ≥ x
x ≤ -5
Здесь мы получили, что x ≤ -5 или x ≥ 5.
4. Окончательно, объединим результаты первого и второго условий:
Область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5) состоит из двух интервалов: (-∞, -5] и [5, +∞).
Таким образом, область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5) составляет все вещественные числа, кроме интервала (-5, 5).