Войти Регистрация Спроси ai-bota

[tex]ctg(\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi*sin^{2}(x)+\pi}{4sin^{6}(x)+1})-tg(\frac{\pi}{4sin^{6}(x)+1})=/tex]
как это решать? 100

Ответ:

zorynastya

10.10.2020 14:31

Данное уравнение равносильно уравнению

$tg(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x+\pi}{4sin^{6}x+1})=tg(\frac{\pi}{4sin^{6}x+1})\\\\\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x+\pi}{4sin^{6}x+1}=\frac{\pi}{4sin^{6}x+1}+\pi\:n\\\\\frac{1}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}+\frac{1}{4sin^{6}x+1}=\frac{1}{4sin^{6}x+1}+n\\\\\frac{1}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=n\\\\$

n ∈ Z

Рассмотрим более пристально выражение $\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\\\\$ , которое можно записать в следующем виде:

$\frac{1}{2sin^{4}x+\frac{1}{2sin^{2}x}}=\frac{1}{2sin^{4}x-2sin^{2}x+(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})}=\frac{1}{-sin^{2}x*cos^{2}x+(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})}=\\\\=\frac{1}{(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})-\frac{sin^{2}2x}{2}}\\\\$

Так как $2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}\geq 2\\\\$ (сумма двух положительных взаимно обратных величин), $\frac{sin^{2}2x}{2}\geq\frac{1}{2}\\\\$ , то $2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}-\frac{sin^{2}2x}{2}\geq\frac{3}{2}\\\\$ , а значит, $0\leq\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\leq\frac{2}{3}\\\\$

Однако выражение $\frac{1}{3}+\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\\\\$ должно быть целым, что возможно только при $\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=\frac{2}{3}\\\\$ . Это равенство, в свою очередь, выполняется, если и только если

$2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}-\frac{sin^{2}2x}{2}=\frac{3}{2}\\\\$

$\left\{{{2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}=2}\atop{sin^{2}2x=1}}\right.\:\:\:\:\:\:\left\{{{sin^{2}x=\frac{1}{2}}\atop{cos^{2}x=\frac{1}{2}}}\right.\:\:\:\:\:\:x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\:k}{2}\\\\$ , k ∈ Z

ответ: $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\:k}{2}\\\\$ , k ∈ Z

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

vladislavshisho

23.01.2020 10:10

Сравните числа а и b если а=7.2*10^(-3), b=0.007...

NikitaPut

23.01.2020 10:10

Выполните действия и запишите результат в стандартном виде: (2.3*10^(-4))*(0.5*10^8)....

aika043

23.01.2020 10:10

Решить : отцу 30 лет, а сыну 4 года. через сколько лет отец будет втрое старше сына? конечно элементарная, но я просто тормоз и ничего не догоняю.....

gferangiz

23.01.2020 10:10

Решить систему уравнений подстановки: 1) х+у=40 2) 2х-3у=10 3)3у-5х=7 4)3х - (3у-7х)=5 у-х=8 2х+5у= -6 3у+2х=14 3у - 7х=10...

inglis1982

23.01.2020 10:10

Поступивший в продажу в апреле мобильный телефон стоил 2800 рублей. в мае он стал стоить 1820 рублей. на сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период...

linda281

23.01.2020 10:10

Реферат по миша набирал на компьютере 3 дня. в первый день он набрал в 1,25 раза меньше листов, чем во второй, а в третий день- на 40% больше, чем во второй. сколько...

Violetta291

23.01.2020 10:10

Найдите значение выражения: 3\4-4\5...

rokovayajenshi

21.05.2023 16:47

Укажите какие из уравнений являются линейными: а)1/3*х(2 степени)=15 б)х+4=-2 в)3х(во второй степени)+х=0 г)(3+х): х=12 с !...

дарьякозырева

21.05.2023 16:47

А)постройте график функции y=2x+2 б)определите,проходит ли график функции через точку а(-10,-18) можно решение на листочке и все подробно описано.заранее !...

Liliya0529

21.05.2023 16:47

На тарелке 20 пирожков: 4 с мясом, 10 с капустой и 6 с вишней. жора наугад выбирает один пирожок. найдите вероятность того, что он окажется с вишней....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку